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矩阵补全(Matrix Completion),就是补上一个含缺失值矩阵的缺失部分。
矩阵补全可以通过矩阵分解(matrix factorization)将一个含缺失值的矩阵 X 分解为两个(或多个)矩阵,然后这些分解后的矩阵相乘就可以得到原矩阵的近似 X',我们用这个近似矩阵 X' 的值来填补原矩阵 X 的缺失部分。
矩阵补全有很多方面的应用,如推荐系统、缺失值预处理。
除了 EM 算法、树模型,机器学习中的大多数算法都需要输入的数据是不含缺失值的。在 deep learning 模型中,通过梯度的计算公式就可以发现,如果 feature 中含有缺失值,那么梯度也会含缺失值,梯度也就未知了。对缺失值的处理是在模型训练开始前就应该完成的,故也称为预处理。
数据缺失在实际场景中不可避免,对于一个包含 nn 个 samples,每个 sample 有 mm 个 features 的数据集 DD ,我们可以将该数据集 DD 整理为一个 n×mn×m 的矩阵 XX 。
通过矩阵分解补全矩阵是一种处理缺失值的方式,但在介绍之前,先介绍一些简单常用的缺失值预处理方式。
不进行缺失值预处理,缺了就缺了,找一个对缺失值不敏感的算法(如“树模型”),直接训练。
对于矩阵 XX 中缺失值很多的行或列,直接剔除。
缺失值较多的行,即一个 sample 的很多 features 都缺失了;缺失值较多的列,即大部分 samples 都没有该 feature。剔除这些 samples 或 features,而不是填充它们,避免引入过多的噪声。
当数据超级多时,我们甚至可以对含有缺失值的样本直接剔除,当剔除的比例不大时,这也完全可以接受。
1.3.1 简单填充
在矩阵 XX 的每个缺失位置上填上一个数,来代替缺失值。填一个数也不能乱来,如果 feature 代表年龄,那么肯定要填正数;如果 feature 代表性别,那么填 0 或 1 更合适(0 代表男,1 代表女)。
一般有以下几种简单的填充值:(均值和众数都是在一个 feature 下计算,即在矩阵 XX 的每一列中计算均值和众数)
1.3.2 建模填充
这种方式通过观察缺失的 feature 和其它已有的 features 之间的联系,建立一个统计模型或者回归模型,然后然后预测缺失 feature 的值应该是什么。
用 EM 算法估计缺失值也可以归为这一类。
当然,常用的缺失值处理方式还有许多,这里就不再列举了。可以看看博客 。
如果矩阵 XX 不含缺失值,那么矩阵分解可以将矩阵 XX 分解成两个矩阵 UU (大小 m×km×k )、VV (大小 m×km×k ),其中 k<min{m,n}k<min{m,n} ,则:
X=UV⊤X=UV⊤
因为 k<min{m,n}k<min{m,n} ,所以 rank(U)≤krank(U)≤k 、rank(V)≤krank(V)≤k ,该矩阵分解又叫做低秩矩阵分解(low-rank matrix factorization)。
那么为什么 k<min{m,n}k<min{m,n} ?
如果矩阵 XX 是完整的,那么矩阵分解 X=UV⊤X=UV⊤ 完全没问题,但现在 XX 中含了缺失值,故没有办法用线性代数的知识直接进行矩阵分解,我们需要一种近似的解法——梯度下降法。
这个时候我们令 X≈X^=UV⊤X≈X^=UV⊤ ,∥X−X^∥2F‖X−X^‖F2 表示含缺失值的原矩阵 XX 和 还原后的近似矩阵 X^X^ 之间误差的平方(Square error),或者称之为 reconstruction error,当然 ∥X−X^∥2F‖X−X^‖F2 的计算只能在不含缺失值的项上。(∥⋅∥F‖⋅‖F 表示 Frobenius norm。)
文献中一般会将 reconstruction error ∥X−X^∥2F‖X−X^‖F2 记为 ∥∥RΩ(X−X^)∥∥2F‖RΩ(X−X^)‖F2 ,其中 [RΩ(X−X^)]ij={xij−x^ij0 if (i,j)∈Ω otherwise [RΩ(X−X^)]ij={xij−x^ij if (i,j)∈Ω0 otherwise ,ΩΩ 表示非缺失值矩阵元素下标的集合。这里为了简便,直接使用 ∥X−X^∥2F‖X−X^‖F2 ,知道只在不含缺失值的项上计算平方和即可。
我们的目标的是找到矩阵 XX 的近似矩阵 X^X^ ,通过 X^X^ 中对应的值来填充 XX 中缺失的部分。而想要找到 X^X^ ,就是要找到矩阵 UU 和 VV 。当然 X^X^ 要尽可能像 XX ,体现在函数上就是 min∥X−X^∥2Fmin‖X−X^‖F2 。
NOTE:以下矩阵的范数都默认为 Frobenius norm。
Loss function JJ 为:
J=∥X−X^∥2=∥X−UV⊤∥2=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl)2J=‖X−X^‖2=‖X−UV⊤‖2=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl)2
其中,i,ji,j 分别表示矩阵 XX 的行和列,要求 xij≠nanxij≠nan ,否则没有办法求最小值了。上式中,未知的就是 uil,vjluil,vjl ,也是我们想要求的。
随机初始化矩阵 U,VU,V ,loss function JJ 就可以得到一个误差,基于该误差计算梯度,而想要更新 U,VU,V ,只需要按照梯度下降的公式来即可。
令:
eij=xij−∑l=1kuilvjleij=xij−∑l=1kuilvjl
则梯度为:
∂J∂uil=−2eijvjl∂J∂vjl=−2eijuil∂J∂uil=−2eijvjl∂J∂vjl=−2eijuil
梯度下降更新公式:
uil=uil−α∂J∂uil=uil+2αeijvjlvjl=vjl−α∂J∂vjl=uil+2αeijuiluil=uil−α∂J∂uil=uil+2αeijvjlvjl=vjl−α∂J∂vjl=uil+2αeijuil
算法到这里其实就可以用了,但为了更加完美,可以考虑以下步骤,加入正则项和偏置。
加入正则项,保证矩阵 U,VU,V 中元素不要太大,此时 loss function JJ 如下所示:
J=∥X−X^∥2+β2(∥U∥2+∥V∥2)=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl)2+β2(∑i,lu2il+∑j,lv2jl)J=‖X−X^‖2+β2(‖U‖2+‖V‖2)=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl)2+β2(∑i,luil2+∑j,lvjl2)
则梯度为:
∂J∂uil=−2eijvjl+βuil∂J∂vjl=−2eijuil+βvjl∂J∂uil=−2eijvjl+βuil∂J∂vjl=−2eijuil+βvjl
此时梯度下降更新公式为:
uil=uil−α∂J∂uil=uil+α(2eijvjl−βuil)vjl=vjl−α∂J∂vjl=uil+α(2eijuil−βvjl)uil=uil−α∂J∂uil=uil+α(2eijvjl−βuil)vjl=vjl−α∂J∂vjl=uil+α(2eijuil−βvjl)
偏置可以理解为每个样本都有其特性,每个feature也有其特点,故可以加入 bias 来控制。bias 分为三种,第一种是矩阵 XX 整体的的 bias,记为 bb ,那么 b=mean(X)b=mean(X) ,即可以用矩阵 XX 中存在元素的均值来赋值;第二种是 sample 的 bias,记为 b_uib_ui ;第三种是 feature 的 bias,记为 b_vjb_vj 。
则:
x^ij=∑l=1kuilvjl+(b+b_ui+b_vj)x^ij=∑l=1kuilvjl+(b+b_ui+b_vj)
其中,b=∑i,j,xij≠nanxijNb=∑i,j,xij≠nanxijN ,NN 表示分子求和元素的个数。
则 loss function JJ 为:
J=∥X−X^∥2+β2(∥U∥2+∥V∥2+b_u2+b_v2)=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl−b−b_ui−b_vj)2+β2(∑i,lu2il+∑j,lv2jl+∑ib_u2i+∑jb_v2j)J=‖X−X^‖2+β2(‖U‖2+‖V‖2+b_u2+b_v2)=∑i,j,xij≠nan(xij−∑l=1kuilvjl−b−b_ui−b_vj)2+β2(∑i,luil2+∑j,lvjl2+∑ib_ui2+∑jb_vj2)
再加入 bias 后,令
eij=xij−∑l=1kuilvjl−b−b_ui−b_vjeij=xij−∑l=1kuilvjl−b−b_ui−b_vj
则梯度为:
∂J∂uil∂J∂vjl∂J∂b_ui∂J∂b_vj=−2eijvjl+βuil=−2eijuil+βvjl=−2eij+βb_ui=−2eij+βb_vj∂J∂uil=−2eijvjl+βuil∂J∂vjl=−2eijuil+βvjl∂J∂b_ui=−2eij+βb_ui∂J∂b_vj=−2eij+βb_vj
此时梯度下降更新公式为:
uilvjlb_uib_vj=uil+α(2eijvjl−βuil)=uil+α(2eijuil−βvjl)=b_ui+α(2eij−βb_ui)=b_vj+α(2eij−βb_vj)uil=uil+α(2eijvjl−βuil)vjl=uil+α(2eijuil−βvjl)b_ui=b_ui+α(2eij−βb_ui)b_vj=b_vj+α(2eij−βb_vj)
import numpy as np
class MF():
def __init__(self, X, k, alpha, beta, iterations):
"""
Perform matrix factorization to predict np.nan entries in a matrix.
Arguments
- X (ndarray) : sample-feature matrix
- k (int) : number of latent dimensions
- alpha (float) : learning rate
- beta (float) : regularization parameter
"""
self.X = X
self.num_samples, self.num_features = X.shape
self.k = k
self.alpha = alpha
self.beta = beta
self.iterations = iterations
# True if not nan
self.not_nan_index = (np.isnan(self.X) == False)
def train(self):
# Initialize factorization matrix U and V
self.U = np.random.normal(scale=1./self.k, size=(self.num_samples, self.k))
self.V = np.random.normal(scale=1./self.k, size=(self.num_features, self.k))
# Initialize the biases
self.b_u = np.zeros(self.num_samples)
self.b_v = np.zeros(self.num_features)
self.b = np.mean(self.X[np.where(self.not_nan_index)])
# Create a list of training samples
self.samples = [
(i, j, self.X[i, j])
for i in range(self.num_samples)
for j in range(self.num_features)
if not np.isnan(self.X[i, j])
]
# Perform stochastic gradient descent for number of iterations
training_process = []
for i in range(self.iterations):
np.random.shuffle(self.samples)
self.sgd()
# total square error
se = self.square_error()
training_process.append((i, se))
if (i+1) % 10 == 0:
print("Iteration: %d ; error = %.4f" % (i+1, se))
return training_process
def square_error(self):
"""
A function to compute the total square error
"""
predicted = self.full_matrix()
error = 0
for i in range(self.num_samples):
for j in range(self.num_features):
if self.not_nan_index[i, j]:
error += pow(self.X[i, j] - predicted[i, j], 2)
return error
def sgd(self):
"""
Perform stochastic graident descent
"""
for i, j, x in self.samples:
# Computer prediction and error
prediction = self.get_x(i, j)
e = (x - prediction)
# Update biases
self.b_u[i] += self.alpha * (2 * e - self.beta * self.b_u[i])
self.b_v[j] += self.alpha * (2 * e - self.beta * self.b_v[j])
# Update factorization matrix U and V
"""
If RuntimeWarning: overflow encountered in multiply,
then turn down the learning rate alpha.
"""
self.U[i, :] += self.alpha * (2 * e * self.V[j, :] - self.beta * self.U[i,:])
self.V[j, :] += self.alpha * (2 * e * self.U[i, :] - self.beta * self.V[j,:])
def get_x(self, i, j):
"""
Get the predicted x of sample i and feature j
"""
prediction = self.b + self.b_u[i] + self.b_v[j] + self.U[i, :].dot(self.V[j, :].T)
return prediction
def full_matrix(self):
"""
Computer the full matrix using the resultant biases, U and V
"""
return self.b + self.b_u[:, np.newaxis] + self.b_v[np.newaxis, :] + self.U.dot(self.V.T)
def replace_nan(self, X_hat):
"""
Replace np.nan of X with the corresponding value of X_hat
"""
X = np.copy(self.X)
for i in range(self.num_samples):
for j in range(self.num_features):
if np.isnan(X[i, j]):
X[i, j] = X_hat[i, j]
return X
if __name__ == '__main__':
X = np.array([
[5, 3, 0, 1],
[4, 0, 0, 1],
[1, 1, 0, 5],
[1, 0, 0, 4],
[0, 1, 5, 4],
], dtype=np.float)
# replace 0 with np.nan
X[X == 0] = np.nan
print(X)
# np.random.seed(1)
mf = MF(X, k=2, alpha=0.1, beta=0.1, iterations=100)
mf.train()
X_hat = mf.full_matrix()
X_comp = mf.replace_nan(X_hat)
print(X_hat)
print(X_comp)
print(X)
4.1 需不需要对 bias 进行正则化?
按照一般 deep learning 模型,是不对 bias 进行正则化的,而本文的代码对 bias 进行了正则化,具体有没有影响不得而知。4.2 如果出现 "RuntimeWarning: overflow encountered in multiply" 等 Warning 造成最后的结果为 nan,怎么办?
可以尝试调低 learning rate αα 。转载于:https://www.cnblogs.com/wuliytTaotao/p/10814770.html